tipos de probabilidad conceptos y conjuntos 2 parcial

CONCEPTOS CRITERIOS DE PROBABILIDAD

Experimento aleatorio: conjunto de pruebas cuyos resultados están determinados únicamente por el azar.

Espacio muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio

Punto muestral o suceso elemental: el resultado de una sola prueba de un experimento muestral

Suceso o evento: cualquier subconjunto de puntos muestrales

Sucesos mutuamente excluyentes: sucesos o eventos que no pueden ocurrir simultaneamente .

Sucesos complementarios: dos sucesos o eventos mutuamente excluyentes cuya unión es el espacio muestral

Sucesos independientes: sucesos o eventos que no tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro

Sucesos dependientes: sucesos o eventos que sí tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno sí afecta la ocurrencia del otro.

EJEMPLO: Se lanza un dado.

a) Encontrar el espacio muestral. Solución: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

b) Enumerar los puntos muestrales. Solución: Hay seis puntos muestrales: {1},{2},{3},{4},{5} y {6}.

c) Poner dos ejemplos de eventos. Solución: evento A = {resultado es impar} = {1, 3, 5}; evento B = {resultado es mayor que 2} = {3, 4, 5, 6}

d) ¿Son mutuamente excluyentes los siguientes eventos? A = {resultado menor o igual a 4}, B = {resultado es primo}. Solución: A = {1, 2, 3, 4} y B = {2, 3, 5} sí tienen dos puntos en común, 2 y 3. Por lo tanto, no son mutuamente excluyentes.

e) ¿Cuál suceso es complementario a M = {2, 6}? Solución: {1, 3, 4, 5}.

f) ¿Son dependientes o independientes los siguientes eventos? A = {obtener un 2 un el primer lanzamiento}, B = {obtener un 4 en el segundo lanzamiento}. Solución: Son independientes, porque obtener o no un 2 en el primer lanzamiento no afecta el resultado del segundo lanzamiento.

EJERCICIOS: Se lanzan tres monedas y se anota el número de caras. 1) Encontrar el espacio muestral 2) Ejemplificar dos puntos muestrales 3) Ejemplificar un evento con tres puntos muestrales 4) ¿Son mutuamente excluyentes los siguientes eventos? A = {1, 2}, B = {0} 5) ¿Cuál suceso es complementario a P = {3}? 6) ¿Son dependientes o independientes los siguientes eventos?     A = obtener un 1 en un lanzamiento, B = obtener un 3 en el siguiente lanzamiento. Una bolsa opaca tiene tres bolas rojas y dos bolas amarillas, todas idénticas a excepción del color. Se saca una bola al azar y luego otra bola al azar, anotando el color de cada bola. 7) Encontrar el espacio muestral 8) Ejemplificar dos puntos muestrales 9) Ejemplificar un evento con dos puntos muestrales 10) ¿Son mutuamente excluyentes los siguientes eventos? A = {RA, AA}, B = {RR, RA} 11) ¿Cuál suceso es complementario a P = {RR}? 12) ¿Son dependientes o independientes los siguientes eventos?:       A = {obtener una bola roja en primer lugar}, B = {obtener una bola amarilla en segundo lugar}.

Probabilidad Simple EJERCICIOS

Problemas resueltos:
Si yo tengo una canasta llena de peras y manzanas, de las cuales hay 20 peras y 10 manzanas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la canasta?

Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la canasta; es decir los casos posibles. Para calcular la probabilidad de sacar una manzana mis casos favorables son 10 puesto que existen sólo 10 manzanas. Así, aplicando la fórmula obtenemos que:

P(Manzana)=10/30=1/3= 33.3% probable

Calculando igual, la probabilidad de sacar pera es:

P(Pera)=20/30=2/3= 66.7% probable

Como 66.7 es mayor que 33.3 es más probable que saque una pera, pues hay más peras que manzanas en la canasta.

2.- la probabilidad de que al lanzar un dado, salga el numero 2 es de

1/6

porque el dos es solo uno de 6 numeros que hay en total.

3.-
En una sala de clases hay 20 mujeres y 12 hombres. Si se escoge uno de ellos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que lapersona escogida sea hombre?
Solución:
Por definición, la probabilidad de que un suceso ocurra viene dada por:
P=casos favorables/casos totales o posibles (P).
En particular, hay 12 hombres, por lo tanto son 12 los casos favorables a dicha selección. Pero ella se hará de un total de 20 + 12 = 32 personas sumamos la cantidad de mujeres y hombres que forman parte de la selección y por tanto, los casos posibles o totales.
Así, la probabilidad pedida es
P= 12/32

4.- En una comida hay 28 hombres y 32 mujeres.Han comido carne 16 hombres y 20 mujeres, comiendo pescado el resto. Si se elige una de las personas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona escogida sea hombre?
Solución:
La información sobre lo que come cada una de las personas es insustancial. Pues en lo que solicita no hay relación con ello. Por definición, la probabilidad pedida viene dada por:
P= casos favorables a la selección 28/casos totales de la muestra 60
P= 28/60

5.-En un curso de 30 alumnos 18 son mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una persona está no sea mujer?
Solución:
Claramente nos piden la probabilidad de que al escoger una persona, esta sea hombre. Pues bien, si de los 30 alumnos, 18 son mujeres, entonces hay 12 hombres. Luego, la probabilidad pedida es:
P=casos favorables a la selección 12/casos totales de la muestra 30
P=12/60

6.-¿Cuál es la probabilidad de ganar en una rifa de 1000 números en total, si se compran los 3 centésimos de tal cantidad?
Solución:
3 Centésimos equivale al 3%. Y la probabi
lidad asociada a tal porcentaje es 3/100.
P= 3/100

7.-La probabilidad de que al sacar una carta al azar de un naipe inglés (52 cartas), ella sea un as es:
Solución:
Los casos favorables a obtener un as son 4.
Los casos totales o posibles de extraer son 52 (puede salir cualquier carta).
Por lo tanto, la probabilidad pedida es:
P=4/52
P=1/13

8.-En un jardín infantil hay 8 morenos y 12 morenas así como 7 rubios y 5 rubias. Si se elige un integrante al azar, la probabilidad de que sea rubio o rubia es:
Solución:
Hay un total de 32 niños. Los rubios o rubias suman 12. Por lo tanto, la probabilidad pedida es:
P=casos favorables (rubios o rubias)/ total de niños
P=(7 + 5)/(8 +12 +7 + 5)
P=12/32 8
P=3/8

9.-Al lanzar al aire tres veces una moneda, la probabilidad de que en el primer lanzamiento se obtenga sello es:
Solución:
No importa lo que ocurra en los dos últimos lanzamientos. Es sólo considerar la probabilidad de que en el primer lanzamiento se obtenga sello. Por lo tanto, la probabilidad pedida es:
P=cantidad de resultado(s) favorable(s) / cantidad resultados posibles
P=1/2

10.-Se lanzó un dado honesto –no cargado- dos veces, obteniéndose 4 en ambas oportunidades. ¿Cuál es la probabilidad de que en un tercer lanzamiento se obtenga nuevamente 4?
Solución:
Los dos lanzamientos previos ya no son de interés, dado que se tiene certeza de sus resultados. Solo nos interesa a partir de ello la probabilidad de que en un lanzamiento se obtenga 4. Como hay seis resultados posibles y uno solo favorable, la probabilidad pedida es:
P= cantidad de resultado(s) favorable(s) /cantidad resultados posibles
P=1/6

Probabilidad conjunta (PROBLEMAS)

PROBLEMAS RESUELTOS Y EXPLICADOS :

1.-La probabilidad de sacar dos lápices negros es:

P=(2/5)(1/4)

P=2/20

P= 1/10

2.-En una tómbola hay 3 bolas rojas y 5 blancas. Se extraen unaa una y sin reposición, dos bolas. La probabilidad de que ambas resulten rojas es:

Solución:

Los eventos de extracción son independientes, por lo tanto, la probabilidad pedida

será el producto de cada una de las probabilidades individuales. La 1º extracción tiene 3 casos favorables de untotal de 8 bolas. La probabilidad es 3/8. La 2º tiene 2 casos favorables de un total de7 bolas que quedan. Su probabilidad es 2/7  Así, la probabilidad pedida es

P=(3/8)(2/7)

P=(3/4)(1/7)

P=3/28

3.-Desde una tómbola en la que sólo hay 5 bolitas, 2 negras y 3 rojas, se extraen dos, de una en una y sin reposición. Entonces, la probabilidad de que ambas resulten negras es:

Solución: Los eventos de extracción son independientes, por lo tanto, la probabilidad pedida será el producto de cada una de las probabilidades individuales. La 1º extracción tiene 2 casos favorables de un total de 5 bolas. Su probabilidad es 2/5. La 2º extracción tiene 1 caso favorable de un total de 4 bolas que quedan. Su probabilidad es 1/4 .Así, la probabilidad pedida es

P= (2/5)(1/4)

P= (1/5)(1/2)

P= 1/10

4.-En una urna hay 10 fichas blancas y 5 azules. La probabilidad de que, de dos fichas extraídas una tras otra sin devolución, la primera ficha sea blanca y la segunda sea azul es:

Solución:

Sea B ≡La primera ficha sea blanca.

        A ≡La segunda ficha sea azul.

La probabilidad pedida es P (B) •P(A) ,(casos favorables/casos totales), así:

P (B)*P(A)

P= (10/15)(5/14)

P= (5/3) (1/7)

P=5/21

5.-Se extraen dos cartas de una baraja española, una después de la otra sin devolución. La probabilidad que la segunda cartasea un rey, dado que la primera carta fue rey de bastos es:

Solución:

La baraja española consta de 4 reyes en 40 cartas. Después de la 1era extracción quedan 3 reyes en un total de 39 cartas. Entonces, la probabilidad pedida es

P=3/39

P=1/13

6.-Si Pedro tiene un llavero con 4 llaves y solo una de ellas abre una puerta. ¿Cuál es la probabilidad de que si prueba las llaves, logre abrir la puerta al tercerintento sin usar una llave más de una vez?

Solución:

En el primer y segundo intento falla, por lo que hay que considerar solo como casos favorables aquellos en que la llave no es correcta. En el tercer intento hay que considerar como caso favorable únicamente el caso en que la llave es correcta. Como además no se repite ninguna llave, de un intento a otro habrá una llave menos. La probabilidad pedida es:

P(abre 3º intento) =

P(falla en 1º intento) •P(falla en 2º intento) •P(acierta en 3º intento)

P(abre 3º intento) = (3/4)(2/3)(1/2)

P(abre 3º intento) = 6/24

P(abre 3º intento) = 1/6

7.-De un naipe de 52 cartas se extraen consecutivamente 2 cartas al azar, sin restitución. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea el as de trébol y

la segunda sea un 4?

Solución:

Sea los eventos

A ≡extraer un as de trébol de un mazo de 52 cartas

 ⇒ P(A) = casos favorables hay un solo as de trébol/ casos totales hay 52 cartas en total  1

P=1/52

extraer un 4 de un mazo de 51 cartas.

⇒ P(B) =casos favorables hay cuatros naipes con número 4 / casos totales Quedan

  P(B) =(1 por cada pinta) 4/51 cartas en total

La probabilidad pedida es:

P(A) •P(B) = (1/52)(4/51)

8.-Se toman una a una y sin reposición, cinco cartas de una baraja de 52. ¿Cuáles la probabilidad de que las cuatro primeras seanases y la última, reina de diamantes?

Solución:

Cada extracción es sin reposición, por lo que la cantidad de cartas (y particularmente ases), va disminuyendo de una en una. Además, cada extracción es independiente. La probabilidad pedida viene dada por:

P=(4/52)(3/51)(2/50)(1/49)(1/48)

P= (4! 4!• 47! 4!)/( • 51• 50 • 49 • 48 • 47!)

P= 4•7!/52!

9.-La cardinalidad del espacio muestral, o el número de casos posibles que hay, al extraer 4 cartas de un total de 52, viene dada, sin importar el orden en que se extraen, por:

P(Diez) = 4/51

P(Diez)=(4/52)(4/51)

P=(1/13)( 4/51)

P=4/663

La cardinalidad del espacio muestral, o de casos posibles que hay, al extraer 1 carta de las 48 restantes viene dada, por:

P(As) = 4/52

P(Diez) = 4/52

P(Diez) = 4/5151

10.- En una tómbola hay 3 bolas rojas y 5 blancas. Se extraen unaa una y sin reposición, dos bolas. La probabilidad de que ambas resulten rojas es:

Solución:

Los eventos de extracción son independientes, por lo tanto, la probabilidad pedida será el producto de cada una de las probabilidades individuales. La 1º extracción tiene 3 casos favorables de un total de 8 bolas. La probabilidad es 3/8. La 2º tiene 2 casos favorables de un total de 7 bolas que quedan. Su probabilidad es 2/7 .Así,

la probabilidad pedida es : (3/8)(2/7)=( 3/4)(1/7)=3/28

Ejercicios (Regla de la Adición)

Cuál es la probabilidad de obtener un total de 7 u 11 cuando se lanza un par de dados?

s(7)={ (1,6),(2,5),(3,4),(6,1),(5,2),(4,3) }
s(11)={ (5,6),(6,5) }


P(7)= 6/36 = 1/6

P(11)= 2/36

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Si las pobabilidades de alguien que compra un auto para elegir un color entre Verde, Blanco, Rojo o Azul, son respectivamente 0.9, 0.15, 0.21, 0.23.

Cual es la probabildiad de que un comprador adquiera un automovil que tenga uno de esos colores.


P(V U B U R U A)= 0.9+0.15+0.21+0.23 = 0.68

Los eventos son independientes. Ya que no hay intersecciones (el auto no puede tener dos colores), simplemente se suman las probabilidades de cada color disponible para el automovil.

Regla de la Multiplicación

Si A y B son independientes: 

-P(A int B) = P(B)P(A|B)

-P(B int A) = P(A)P(B|A)



Si A y B son dependientes:

-P(A int B) = P(A)P(B)

P(A|B)= 3/15


P(A int B)= (3/15)(15/36) = 3/36 = 1/12

PROBABILIDAD CONDICIONAL
Se refiere a la probabilidad de ciertos eventos (A) que dependen o se ven influidas por la ocurrencia de otros (B). La probabilidad condicional se representa P(A|B), y el cual se pronuncia como "la probabilidad de A dado en B"Para determinar la probabilidad condicional se recurre a la siguiente formula:


EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LA PROBABILIDAD CONDICIONAL
1.- Se seleccionan dos canicas aleatoriamente, una por una, de una pequeña caja que contiene 10 canicas rojas y 5 transparentes. ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) La primera canica sea roja?b)La segunda canica sea transparente dado que la primera fue roja?

  SOLUCIÓN
a)  La probabilidad de que la primera canica sea roja es 10/15, puesto que hay 10 canicas rojas de un total de 15. Escrito con notación de probabilidad tenemos: P(R₁)=10/5.
b) La probabilidad de que la segunda canica sea transparente se ve influida por lo que salió primero, es decir esta probabilidad está sujeta a una condición, la de que la primera canica sea roja. Este tipo de probabilidad se le llama probabilidad condicional y se denota por  P(T₂|R₁), y se lee: la probabilidad de T₂ dado R₁. Esta probabilidad  P(T₂|R₁)=5/14, puesto que todavía hay 5 canicas    transparentes en un total de 14 restantes.



2.-Una persona lanza una moneda 3 veces, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 águilas dado que salió por lo menos un águila?

SOLUCIÓN

El espacio muestra del experimento de lanzar una moneda 3 veces esS = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}El evento A de que por lo menos hay un águila en los tres lanzamientos es:A = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa}El evento B de que obtenga 3 águilas es B = {aaa}Por lo tanto, AÇB ={aaa} y P(AÇB)=1/8 y P(A)=7/8De donde:






3.-Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 0 al 9. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos personas no piensen el mismo número?

SOLUCIÓN
Para calcular la probabilidad se supone que el primero ya ha elegido un número, entonces se calcula la probabilidad de que el segundo no escoja el mismo número: P=10/100=1/10=0.1; por lo tanto la probabilidad de que no piensen en el mismo número será 1-(1/10)=9/10=0.9





4.-En unas oposiciones, el temario consta de 85 temas. Se eligen tres temas al azar de entre los 85. Si un opositor sabe 35 de los 85 temas, ¿cuál es la probabilidad de que sepa al menos uno de los tres temas?



SOLUCIÓN

Tenemos que hallar la probabilidad de que ocurra el siguiente suceso:A = "el opositor conoce, al menos, uno de los tres temas"Para calcularla, utilizaremos el complementario. Si sabe 35 temas, hay 85 - 35 = 50 temas que no sabe; Entonces: P(A)=1-P(A´)=1-P(“no sabe ninguno de los tres”)P=1-(50/85)(49/84)(48/83)=0.802, por lo tanto la probabilidad de que sepa al menos uno de los tres temas es de 0.802.




5.-Se tiene  para enviar tres cartas con sus tres sobres correspondientes. Si se meten al azar cada carta en uno de los sobres, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de las cartas vaya en el sobre que le corresponde?

SOLUCIÓN

Se hace un diagrama que refleje la situación. Se nombran a los sobres A, B y C; y a las cartas correspondientes a, b y c, y es así como se tiene las siguientes posibilidades:


Se observa que hay seis posibles ordenaciones y que en cuatro de ellas hay al menos una coincidencia. Por tanto, la probabilidad pedida será: P=4/6=2/3=0.67

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Se lanzan un dado blanco y un dado negro. Encontrar la probabilidad de que la suma de sus caras sea 7 y que el numero del dado negro sea mayor que eld el dado blanco.


Sean los eventos:A={la suma de las caras es 7}
B={dado negro mayor a dado blanco}


P(A)= 6/36 = 1/6
P(B)= 16/36 

Ejercicios Resueltos Prob. Total y Teorema de Bayes

EJEMPLO 1

En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona un infante al azar.

a. Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses.

b. Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una niña.

SOLUCIÓN:

Se definen los sucesos:

Suceso H: seleccionar una niña.

Suceso V: seleccionar un niño.

Suceso M: infante menor de 24 meses.

En los ejercicios de probabilidad total y teorema de bayes, es importante identificar los sucesos que forman la población y cuál es la característica que tienen en común dichos sucesos. Estos serán los sucesos condicionados.

a. En este caso, la población es de los infantes. Y la característica en común es que sean menores de 24 meses. Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar un infante menor de 24 meses es un ejemplo de probabilidad total. Su probabilidad será:

 

b. Para identificar cuando en un ejercicio se hace referencia al teorema de bayes, hay que partir de reconocer esta es una probabilidad condicionada y que la característica común de los sucesos condicionantes ya ha ocurrido. Entonces, la probabilidad de que sea niña una infante menor de 24 meses será:

EJEMPLO 2

Un médico cirujano se especializa en cirugías estéticas. Entre sus pacientes, el 20% se realizan correcciones faciales, un 35% implantes mamarios y el restante en otras cirugías correctivas. Se sabe además, que son de genero masculino el 25% de los que se realizan correcciones faciales, 15% implantes mamarios y 40% otras cirugías correctivas. Si se selecciona un paciente al azar, determine:

a. Determine la probabilidad de que sea de género masculino

b. Si resulta que es de género masculino, determine la probabilidad que se haya realizado una cirugía de implantes mamarios.

SOLUCIÓN:

Se definen los sucesos:

Suceso F: pacientes que se realizan cirugías faciales

Suceso M: pacientes que se realizan implantes mamarios

Suceso O: pacientes que se realizan otras cirugías correctivas

Suceso H: pacientes de género masculino

a. La probabilidad de que sea de género masculino se refiere a un problema de probabilidad total, ya que es el suceso condicionado y las cirugías los condicionantes. Dicho valor será:

b. Como el suceso condicionado ha ocurrido entonces se aplica el teorema de bayes, luego, el valor de la probabilidad será:

EJEMPLO 3

Un Doctor dispone de tres equipos electrónicos para realizar ecosonogramas. El uso que le da a cada equipo es de 25% al primero, 35% el segundo en y 40% el tercero. Se sabe que los aparatos tienen probabilidades de error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente busca el resultado de una ecografía y observa que tiene un error. Determine la probabilidad de que se ha usado el primer aparato.

SOLUCIÓN:

Se definen los sucesos:

Suceso P: seleccionar el primer aparato

Suceso S: seleccionar el segundo aparato

Suceso T: seleccionar el tercer aparato

Suceso E: seleccionar un resultado con error

Se puede observar que la pregunta es sobre determinar la probabilidad de que un examen errado sea del primer aparato, es decir, ya ha ocurrido el error. Por lo tanto, debemos recurrir al teorema de bayes. Claro está, que es necesario de igual forma obtener la probabilidad de que los aparatos produzcan un resultado erróneo, por lo tanto: